נסיעה לבית החולים בשבת בהסעה – באירוח מחוץ לי"ב מיל

אני גר בקרבת בית החולים בילינסון, בו אני עובד כמתמחה בגניקולוגיה, בד"כ בסופי שבוע הולך לתורנות וחזרה ברגל.
אנו בד"כ נמנעים לנסוע להורים לשבת / יו"ט כאשר אני תורן (ההורים גרים ברחובות וירושלים).
הדבר מאוד מקשה על אשתי.
לפעמים היא נוסעת לבד עם הילדים ואני נשאר חצי שבת לבד בבית (לפני או אחרי התורנות).
מהאתר הבנתי שיש היתר לנסוע עם נהג גוי אפילו מעבר ל-י"ב מיל לתורנות בשבת בבוקר.
האם היתר זה נכון גם עבורנו שאנו גרים בסמיכות לבית החולים ומעוניינים לנסוע להורים לשבת לרחובות או ירושלים.
אגב, אשתי טוענת שיש רצף ישובים בין רחובות לפ"ת אם עוברים דרך נס ציונה – ראשון – חולון ועד פתח תקוה. האם זה עדיין נחשב יציאה מתחום שבת דאורייתא?
לסיכום שאלתי היא האם אנו יכולים בערב שבת או חג לנסוע להורים ברחובות ובשבת בבוקר לנסוע לתורנות בבילינסון או השרון עם נהג גוי?